На первый взгляд финансовая математика сводится к арифметике. В повседневной жизни, наша "бухгалтерия" состоит из четырех арифметических действий. Но ситуация усложняется, когда речь идет о небольших коммерческих операциях, не говоря уже о банковской деятельности. Действительно, любая коммерческая операция предполагает много факторов: сумма кредитов, его срок, цену товара, способ погашения долга, способ начисления процентов, распределение прибыли и т.д.

Профессиональное занятие бизнессом требует, прежде всего, умения оценивать все возможные результаты финансовых операций. Для этого необходимы определенные знания в области финансовых вычислений. Кроме арифметики в коммерческих и финансовых расчетах используются многие разделы современной математики: методы математического анализа, теории вероятностей, математической статистики и другие.

В России финансовые вычисления были известны как "коммерческая арифметика"[8] В курсе "коммерческой арифметики" изучалась техника процентных вычислений по процентным бумагам и акциям, расчетов по векселям, давались методы дисконтирования и др.

В дореволюционной России эти вопросы изучались в средних учебных заведениях. К примеру, в элементарной алгебре А.Н. Глаголева включены вопросы учета капитала, ренты, вопросы наследства и др. В программе же современной школы, к сожалению, этим вопросам не уделяется достаточного внимания, хотя в 40-х годах они изучались в курсе арифметики в пятых классах обычных школ.

Понятие рыночной экономики вынуждает обращаться с такими понятиями, как "фьючерсы", "опционы", "форфейтинговные операции" и др.[7]. Все это предполагает обратиться к изучению основ коммерческой арифметики уже в школе.

В зависимости от характера учебного заведения, возможны различные уровни ознакомления учащихся с началами финансовой математики. Для обычной средней школы это может быть факультатив объемом 15-20 часов [6], а в техникумах и колледжах, имеющих экономические отделения, полезно ввести в курс математики вопросы коммерческой арифметики, чтобы при решении экономических задач не возникали математические трудности. Это расширяет представление учащихся о математике не только как об абстрактной науке о числах, но и как о науке, удовлетворяющей практические потребности коммерции. Такой подход расширяет кругозор учащихся и иллюстрирует возможности применения математических методов в новой для них области.

Цель данной статьи: напомнить забытое старое и дать представление о некоторых методах финансовых вычислений с позиций элементарной математики.

Простые проценты

С экономической точки зрения "процент" это плата за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заeмщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.

Так, при вложении своих средств в банк вкладчик выступает в роли инвестора (кредитора), а банк в роли - заёмщика. При выдаче банковской ссуды банк является кредитором, а получатель ссуды - заёмщиком.

Источник постоянно текущего дохода - есть капитал, а доход с него - "интерес"¹ или прибыль. Разница между прибылью и капиталом заключается в том, что размер капитала, как источник дохода, может не изменяться с течением времени, а доход с него накапливается через некоторые промежутки времени; значит величина капитала зависит от числа его единиц, а величина дохода определяется и размерами капитала и временем накопления прибыли.

За единицу измерения капитала принимают 100 руб. Если, например, капитал находится в обращении под p%, то это значит, что каждые 100 руб этого капитала приносят p рублей дохода в течении одного года. Если же прибыль, полученная с капитала, через некоторые промежутки времени вновь присоединяются к капиталу, то эта прибыль является также источником дохода в последующие затем промежутки времени. Тогда считают, что капитал находится в обращении по сложным процентами.

Пусть капитал a руб отдан под сложные p% с годовым периодом наращения, т.е. прибыль присоединяется к капиталу по истечении каждого года. Тогда каждый год рубль капитала даст [(p)/ 100] руб прибыли, а a руб капитала даст [(ap)/ 100] руб прибыли.

Тогда через год образуется капитал

A1 = a+ ap 100 = a ж з и 1+ p 100 ц ч ш .

На следующий год источником дохода будет уже не капитал a, а капитал A₁ и к концу второго года вместо A₁ будет капитал A₂.

A2 = A1+ p 100 A1 = A1 ж з и 1+ p 100 ц ч ш

и т.д.

Тогда A₁, A₂, ... A_n - капиталы, образованные по сложным процентам в конце первого, второго, третьего и т.д. годов. Итак,

A1 = a ж з и 1+ p 100 ц ч ш ,

A2 = A1 ж з и 1+ p 100 ц ч ш ,

A3 = A2 ж з и 1+ p 100 ц ч ш

...................................

An-1 = An-2 ж з и 1+ p 100 ц ч ш ,

An = An-1 ж з и 1+ p 100 ц ч ш ,    n О N, A0 = a.

Обозначая [(p)/ 100] через t, и используя рекурентную последовательность, найдем

An = a(1+t)n,    n = 1,2,... .

(1 )

Эта формула называется формулой вычисления сложных процентов. Из (1) видно, что наращения по сложным процентам описывается геометрической прогрессией, начальный член которой равен a, а знаменатель g = 1+t. Величину gⁿ называют коэффициентом наращения.

Пример 1. Капитал в 5277.5 руб помещён по сложным процентам по 4³/₄% на 34 года. Какой капитал образуется к концу 34 года?

Ответ: A₃₄ = 5277.5·(1.0475)³⁴ » 25578 руб.

Пример 2. Капитал в 7400 отдан на 9 лет по сложным процентам по 4%. Какой капитал образуется по истечении 9 лет?

Ответ: A₉ = 7400·(1.04)⁹ » 10532 руб.

Пример 3. Какой капитал образуется из 15000 руб помещенных под сложные проценты на 12 лет и 6 месяцев. Если период наращения равен трём месяцам по 5% годовых?

Решение В году 4 периода по 3 месяца. 12 лет и 6 месяцев содержат 48+2=50 таких периодов. Если каждый рубль в 1 год приносит [5/ 100] руб, то в 1/4 года тот же рубль принесет 5/400 руб.

Искомый капитал равен A₅₀ = 15000(1+[5/ 400])⁵⁰ » 27931 руб

Если поместим капитал в 1000 руб под 4% годовых с годовым периодом наращения, то через год получим 1040 руб.

Если те же 1000 руб поместить на 1 год с полугодовым периодом наращения по той же таксе, то получим 1000·(1.02)² = 1040.4 руб.

Если период наращения 3 месяца, и годовая такса та же, то через год сумма будет 1000·(1.01)³ = 1040.60 руб. Если период наращения 1 месяц, и годовая такса та же, то через год сумма будет 1000·(1+[3/ 100] )¹² = 1040.74 руб.

Легко убедиться в следующей закономерности: чем меньше период наращения, тем больший получается капитал при одинаковой таксе и одинаковом времени обращения.

Обозначая [(p)/ 100] через t, заметим, что коэффициенты, на которые следует умножать капитал, чтобы получить конечный наращенный капитал при разных периодах, таковы:

1+t < ж з и 1+ t 2 ц ч ш 2   < ж з и 1+ t 3 ц ч ш 3   < ... < ж з и 1+ t n ц ч ш n   .

Эти неравенства легко проверить, воспользовавшись формулой бинома Ньютона

(x+a)n = xn+C1naxn-1+C2n a2xn-2+...+Cn-1n an-1x+Cnnan,

где n - целое положительное число. Очевидно, что выражения (1+^t/_k)^k возрастает с увеличением k. Полагая k = tm, найдем, что

ж з и 1+ t k ц ч ш k   = й к л ж з и 1+ t m ц ч ш m   щ ъ ы t   .

Если m®Ґ, то наращение капитала будетнепрерывным, и т.к.

lim m®Ґ  ж з и 1+ 1 m ц ч ш m   = e = 2.718281828... ,

то результат непрерывного наращения капитала вычисляется по формуле

A = a·et,

т.е. по экспоненциальному закону.

Известно [1], что примерами такого непрерывного наращения могут служить также прирост народонаселения, рост кольцевых слоев деревьев, размножение бактерий в дрожжевых культурах и т.д.

Для сравнения результатов наращивания с разными периодами сравнивают эти наращения с непрерывным, который считают нормальным типом наращения капитала.

Если капитал отдан по сложным процентам с периодом наращения, равным 1/n части года, то результат наращения будет больше результата наращения с годовым периодом и для того, чтобы результат наращения был одинаков, надо изменить таксу годового наращения. Это изменение определяется из следующего уравнения:

(1+x) = ж з и 1+ t n ц ч ш n

и

x = ж з и 1+ t n ц ч ш n   -1

и, наоборот,

t = n· ж и    ___ nЦ1+x   -1 ц ш .

Так, если капитал отдан под 4% с полугодовым периодом наращения, то, чтобы получить тот же результат наращения с годовым периодом, надо капитал отдать по таксе x, определяемой из уравнения

x = ж з и 1+ t 2 ц ч ш 2   -1,    где     t = 4 100

x = t+ t2 4 = 0.04+0.0004

x = 0.0404

p = 4.04.

Следовательно, такса 4.04% с годовым периодом наращения эквивалентна таксе 4% с полугодовым периодом наращения. Также при периоде наращения, равном 3 месяца, такса в 5% эквивалентна таксе 5.09% с годовым периодом наращения.

Сравнение простых и сложных процентов

Рассмотрим исторический пример, иллюстрирующий колоссальный рост наращения по сложным процента, если число периодов начисления велико.

В 1624 г. за остров Манхеттен, на котором расположен центр Нью-Йорка, вождю индейского племени было уплачено 24 долларов. В 1974 году - через 350 лет -стоимость земли этого острова оценивалась примерно в 40 млрд. долларов, т.е. коэффициент приращения составил 1.667·10⁹ ! Этот колоссальный рост достигается при небольшой годовой ставке сложных процентов -всего 6.3%. Причина этого прироста - огромный временной срок.

Приведенный пример носит условный характер, т.к. реальный вклад на такой срок невозможен, к тому же и деньги разные (высок процент инфляции).

Положим, что капитал a отдан на сложные проценты по p% с годовым периодом наращения на срок n лет и ^h/_k части года.

Тогда чрез n лет капитал обратится в

a ж з и 1+ p 100 ц ч ш n   = a(1+t)n,

с конца же последнего года в течении ^h/_k части года образовавшийся капитал будет находиться в обращении по простым процентам, и из каждого рубля образовавшегося капитала получится (1+[(t·h)/( k)]) или (1+[(ph)/( 100k)]), и весь капитал станет равным a(1+t)ⁿ·(1+^h/_kt); по этой формуле обычно и вычисляют наращенный капитал.

Другой прием состоит в следующем. Допустим, что период обращения не годовой, а равен 1/k части года; тогда всех периодов будет (k·n+h). Для того, чтобы результат наращения оставался таким же, как и при годовом периоде наращения, надо отдать капитал по таксе не t, а по таксе x, определяемой из уравнения

(1+x)k = (1+t)

(a+x) = (1+t)1/k,

и тогда наращенный капитал станет равным

a(1+x)kn+h = a(1+t)[(kn+h)/( k)],

т.е. искомый капитал A найдется по формуле

A = a(1+t)n+h/k.

Следовательно, капитал можно выразить прямо по формуле сложных процентов (1), считая эту формулу справедливой как для целого числа периодов, так и для дробного.

Из общей формулы сложных процентов (1) выразим начальный капитал a:

a = An (1+t)n .

Логарифмируя формулу (1), найдем формулу, определяющую число периодов наращения

n = lgAn-lga lg(1+t) ,

где t = [(p)/ 100].

Формула, определяющая таксу, запишется так:

t = n   ж Ц An a   -1

или

ln(1+t) = lnAn-lna n .

Пример 4. Какой капитал следует поместить по сложным процентам по 5¹/₄% в год, чтобы к концу 93 года иметь 4817000 руб?

Ответ: a = [4817000/( (1+0.0525)⁹³)] » 41316 руб.

Пример 5. На сколько лет следует поместить капитал в 3000 руб, на сложные проценты по таксе 4% с годовым периодом наращения, чтобы иметь 102358 руб?

Ответ: n = [(lnA_n -lna)/( ln(1+t))] » 90 лет.

Задача. Через сколько времени капитал, отданный по p%, удвоится?

Решение. По условию задачи ясно, что надо разрешить следующее уравнение

2a = a(1+t)n,    где    t = p 100

относительно n. Имеем

n = ln2 ln(1+t) = 0.6931472 ln(1+t) ;

но для достаточно малых t

ln(1+t) = t- t2 2 + t3 3 - t4 4 + ...;

приблизительно

n = 0.693 ж з и 1- t 2 ц ч ш · 1 t ;

при t = 0.02 получим

0.693 0.99 · 1 0.02 = 70 2 = 35;

если p = 5%, то

n = 70 5 = 14

и т.д., т.е. приближенное число лет, по истечении которых капитал удвоится, равняется 70, деленному на таксу (если p < 10). Приближенная формула, показывающая число лет, по истечении которых капитал утроится, такова n = [112/( p)]; число лет, по истечении которых капитал учетверится, таково n = [142/( p)]; и т.д.

Учет. Дисконтирование будущих сумм на сегодня

Часто бывает необходимо знать, какую сумму нужно вложить под фиксированную ставку сложных процентов сегодня, чтобы через определенный срок получить желаемую сумму. Разница между значениями капитала в эти сроки называется дисконтом или учетом.

Если стоимость капитала в момент реализации A_n и стоимость его в данный момент a, то a должно быть таким, чтобы поместив a по сложным процентам на n сроков, отделяющих данный момент времени от момента реализации, мы могли бы получить A_n.

Определение действительной стоимости капитала в данный момент делается по формуле сложных процентов

An = a(1+t)n,

где t = [(p)/ 100] если срок годовой; если срок полугодовой, то t = [(p)/ 200]; если срок 1 месяц, то t = [(p)/ 1200]. Итак,

a = An(1+t)-n,

(2)

или

a = An (1+t)n .

(3)

Эта формула связывает между собой современное a и будущее значение денег A_n.

Найдем учет или дисконт

An-a = An- An (1+t)n = An ж з и 1+t)n-1 (1+t)n ц ч ш = 1-(1+t)-n.

Рассмотрим стоимость капитала в данный момент (формула (2)).

Можно воспользоваться формулой бинома Ньютона для разложения (1+t)^-n, тогда (2) выглядит так

a = An ж з и 1-nt+ n(n+1) 2! t2- n(n+1)(n+2) 3! t3+... ц ч ш .

Отбрасывая все члены бинома, кроме первых двух получим формулу приближенного нахождения стоимости капитала без процентов на него ntA_n

a = An(1-nt).

Такой приближенный учет на него называется коммерческим учетом. В математике эта формула находит применение в приближенных вычислениях.

Воспользуемся формулой (3)

a = An (1+t)n = An 1+nt+ n(n-1) 2! t2+ n(n-1)(n-2) 3! t3+ ... .

Сохраняя в знаменателе только два первых члена, получим

a = An 1+nt .

Эта тоже формула приближенного учета капитала.

Найдем учет по этой формуле

An - An 1+nt = An 1+nt ·nt = a nt,

т.е. учет равен простым процентам не с конечного капитала, а со стоимости его в данный момент. Такой учет называется математическим учетом или учетом по простым процентам.

Пример 6. Требуется найти современноне значение долга, полная стоимость которого через три года составит 7000 руб. Проценты начисляются по следующим ставкам:

a) 140% в конце каждого года

б) 20% в конце каждого квартала

в) 120% годовых в конце каждого месяца.

Решение. a) Воспользуемся формулой (3),

An = 7·103  - в  конце  каждого  года  через  три  года.

 

n = 3,    p 100 = 140 100 = 1.4

Отсюда,

a = 7·103 (1+1.4)3 = 7·104 13.824 = 506.37 руб,

т.е. в конце срока придется выплатить 7506.37 рублей

б)

a = 7·103 (1+0.20)12 = 785.11  руб

в)

a = 7·103 ж з и 1+ 1.2 12 ц ч ш 36   = 7·103 30.913 = 226.44  руб

Видно, что условия в) являются наиболее выгодными для заёмщика.

Финансовые операции часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа, а из их последовательности, т.е. из потока платежей.

Ряд платежей, производимых через равные промежутки времени, называется рентой. Каждые из этих платежей называются членами ренты, а промежутки, через которые производятся эти платежи, называются периодами или сроками ренты.

Примеры рент: квартирная плата, взносы по погашению потребительского кредита, пенсия, регулярная выплата процентов по банковскому депозиту или по ценным бумагам и т.д.

Первоначально рассматривались лишь ежегодные выплаты, которые назывались срочными или ежегодными взносами, иногда они называются аннуитетом (anno - год на латыни), а самая рента называлась рентой помещения. Если же эти платежи идут на погашение долга, то они называются срочными или ежегодными уплатами, а сама рента - рентой погашения.

Началом ренты называют начало того периода, в конце которого производится первый платёж.

По качеству платежей ренты делятся на ренты с постоянными платежами, - платежи такой ренты между собой все равны, - и на ренты с переменными платежами, - платежи такой ренты между собой не равны.

По времени, в течение которого производятся платежи, ренты делятся на ренты временные, пожизненные и вечные; число платежей первой ренты вообще говоря ораничено, число платежей второй ренты ограничено в зависимости от жизни одного или нескольких лиц, и число платежей третьей ренты неограничено.

Стоимость ренты

Оговоримся, что для стоимости рент с единичными выплатами в международной финансовой практике введены специальные обозначения, однако для учащихся школ и средних специальных учебных заведений будет понятна выбранная нами символика, т.к. наша цель - начальное ознакомление с финансовой арифметикой.

Так как платежи ренты поступают в различные сроки, то их действительная стоимость зависит от времени их поступления. Допустим, что каждый платёж ренты равен 1 руб. Вычислим стоимость каждого платежа в момент начала ренты.

Первый платёж в конце первого периода (первого года) равен 1 руб; в начале же периода (года) за него можно дать такую сумму x₁, которая через год с процентами обратится в 1 руб, т.е.

x1 ж з и 1+ 1 100 ц ч ш = x1q = 1    и     x1 = q,

где q = 1+[(p)/ 100] = 1+t.

Второй платёж поступит в конце второго периода (года), и в начале первого года за него можно дать такую же сумму x₁, которая через 2 года вместе с процентами обратиться в 1 руб, т.е.

x2q2 = 1    иx2 = 1 q2

Стоимость третьего платежа - x₃ = [1/( q³)], четвертого -x₄ = [1/( q⁴)] и т.д.

Найдем наращенную сумму ренты. Если все платежи выписать в ряд

1 q ;    1 q2 ;     1 q3    ...    1 qn ,

то окажется, что эта последовательность платежей является убывающей геометрической прогрессией. Сумма членов этого ряда, а значит и наращенная сумма ренты, равна

Sn = a1(gn-1) g-1 ,

где знаменатель прогрессии g = ¹/_q и a = ¹/_q.

Стоимость всех платежей R

R = 1 q + 1 q2 + 1 q3 +...+ 1 qn .

R = 1 q ж з и 1 qn -1 ц ч ш 1 q -1 = q-n(1-qn) 1-q .

R = q-n-1 1-q     или     R = 1-q-n q-1 ,

т.к. q = 1+t = 1+[(p)/ 100], то

R = 1-q-n t

(4)

Если каждый платёж ренты равен a руб, то стоимость её

aR = a ж з и 1-q-n t ц ч ш

- это формула стоимости временной ренты в начале первого срока. Стоимость всех платежей в конце последнего периода, равна Rq^k. Стоимость ренты за k периодов ее начала, равна Rq^-k.

Таким образом, современная стоимость даже неограниченного числа выплат конечна, поскольку далекие деньги мало что стоят сегодня. При большой инфляции обесценивание далеких денег происходит особенно быстро.

Рента вечная и временная

Стоимость R всех платежей в начале 1-го срока равна

R = a ж з и 1-q-k t ц ч ш = a t - aq-n t    при     n®Ґ    q-n® 0.

(5)

Тогда, если обозначить вечную ренту через V, то

V = a t .

Если рента покупается за m лет до начала 1-го срока, то ее стоимость будет выражаться формулой

Vq-m = aq-m t .

Учитывая, что стоимость R временной ренты с начала первого срока вычисляется по формуле (5), то стоимость временной вычисляется как разность стоимости вечной ренты, вычисленной в начале первого срока и стоимости той же ренты, вычисленной за n сроков до начала вечной ренты.

Выведем формулу срочных взносов. Формула срочных взносов представляет собой стоимость всех взносов с конца последнего срока.

Так, первый взнос a поступает в конце первого срока и находится до конца n-го срока в обороте, т.е. (n-1) сроков, а поэтому стоимость его равна aq^n-1, соимость второго взноса - aq^n-2, стоимость третьего взноса - aq^n-3 и так до последнего, который стоит aq^n-n = a.

Общая стоимость всех зносов

R1 = a(qn-1+qn-2+qn-3+...+1) = aqn-1 q-1

Эта формула называется формулой срочных взносов.

Пример 7. Какую сумму можно получить за ренту, если ее взносы равны 1000 руб, и она продолжается 62 года из расчета по 5%?

Ответ: R = ^a/_t(1-q^-n) = [1000/ 0.05](1-[1/( 1.05⁶²)]).

Пример 8. Квартирант платит за квартиру 1000 руб в год и желает заменить такой способ уплаты уплатой по четвертям года. Домохозяин соглашается на такую g`lems, но с тем условием, чтобы расчет четвертных взносов был сделан из 2% процентов в четверть года. Сколько должен платить квартирант в начале каждой четверти года?

Решение.

1000 = x+ x 1.02 + x 1.022 + x 1.023 = x ж з и 1+ 1-1.02-3 0.02 ц ч ш

x = 1000 3.884 = 257 руб    47 коп.

Пример 9. Некто желает купить выигрышный билет стоящий 237 руб в рассрочку; контора соглашается рассрочить уплату на 10 мес. по равному взносу в каждый месяц, из расчета 12% годовых. Сколько придется платить ежемесячно?

Решение.

237 = x+ x q + x q2 +...+ x q9    (где )q = 1.01

237 = x(1+R) = x ж з и 1+ 1-1.01-9 0.01 ц ч ш

x(1+8.5654) = 237

x = 237 9.564 = 24.78 руб

Определение числа сроков ренты

Пример.² Сколько лет продолжается рента, стоимостью 100000 руб и платежи которой равны 5456.4 руб, если рента расчитана по 5¹/₄%?

Решение. Здесь a = 5456.4; R = 100000 руб

q = 1.0525;    t = 0.0525

a-Rt = 5456.4 = 5250 = 205.4

n = 1.42219 0.2222 = 64 года.

Ренты помещения

Задача. В начале каждого срока в кредит учреждение вносит по a руб при условии наращивания взносов по сложным процентам - p% в каждый срок. Какой капитал накопится в n сроков?

Решение. Первый взнос в a руб будет находится в обращении из p% в первый срок в течении n сроков, к концу последнего срока образуется капитал

a ж з и 1+ p 100 ц ч ш n   = a(1+t)n = aqn.

Второй взнос будет находится в обращении (n-1) сроков и к концу срока образуется капитал aq^n-1. Третий обратиться в капитал aq^n-2.

Сумма всех взносов равна

R2 = aqn+aqn-1+aqn-2+...+aq2+aq.

(6)

Умножим обе части последнего равенства на q.

R2q = aqn+1+aqn+aqn-1+...+aq3+aq2.

(7)

Вычтем из (6) равенство (7)

R2(q-1) = aqn+1-aq    или     R2 = aq(qn-1) q-1 ,

которое можно записать так

R2 = aq(qn-1) t .

(8)

По этой формуле вычисляется рента помещения.

Пример 10. Иван Иванович вносит ежегодно в банк по 800 руб под сложные 5%. Какой образуется капитал к концу 20-го года?

Решение. Видоизменяя (8), учитывая, что q-1 = t, имеем

R2 = a(1+t) t (qn-1).

R2 = 800·1.05(1.0520-1) 0.05 = 800·21(1.0520-1)

R2 = 80·21·1.6534 = 27777 руб

Ренты погашения

Если занята сумма A и для погашения её вносят ежесрочно в конце каждого срока по a руб, то все эти взносы составляют ренту, стоимость которой равна

a(1-q-n) t

- формула стоимости временной ренты в начале первого срока.

Эта сумма должна равняться занятому капиталу A, т.е.

A = a(1-q-n) t ,

откуда

a = At 1-q-n = A 1-q-n q-1 = 1 1 q + 1 q2 +...+ 1 qn .

Финансовый смысл этой формулы состоит в том, что при одной и той же продолжительности займа размер срочных взносов увеличивается с увеличением занятой суммы и размера таксы, по которой заключается заём, т.е. чем выше такса, по которой совершен долг, тем меньше его погашение при равных остальных условиях.

С другой стороны из равенства

A = a(1-q-n) t ,

где A - занятая сумма или долг, a - сумма вносимая для погашения долга в конце каждого срока, следует, что a = At+[(a)/( qⁿ)]. В этом равенстве At = g - - первое слагаемое, представляет прибыль с занятой суммы, а второе слагаемое [(a)/( qⁿ)] = m - сумму погашения самого долга, т.е. погашение долга это разность между ежегодним взносом и прибылью с занятой суммы.

Погашение первого года будет выражаться, как [(a)/( qⁿ)] -стоимостью ежегодной уплаты, учтенной за n периодов. После первой выплаты, размеры долга будут выражаться формулой A-[(a)/( q^-n)] = A-aq^-n. Прибыль с него за второй период выражается формулой (A-aq^-n)t. Ежегодная уплата и во второй срок равна a. Тогда на погашение останется

a-At+atq-n = a-a(1-q-n)+atq-n = a(q-n+(q-1)·q-n) =

= a(q-n+q-(n-1)-q-n) = a·q-(n-1).

Т.е. погашение производимое во второй срок равно ежегодной уплате, учтенной за n-1 периодов.

Аналогично показывается, что погашение третьего года - aq^-(n-2), погашение четвертого года - aq^-(n-3) и т.д., т.е. погашение каждого года есть ежегодняя выплата, учтенная за число периодов, оставшихся до окончательного погашения долга.

Пример.³ Некто занимает 10000 руб по таксе в 7% в год с тем, чтобы заплатить весь долг и проценты на него равными взносами в течении 12 лет, учитывая каждый взнос в конце года.

Как велика должна быть ежегодная уплата, и каков должен быть план погашения долга?

Решение.

Из формулы A = [(a(1-q^-n))/( t)] получаем

a = At 1-q-n = 10000·0.07 1-0.44406 ,    ибо 1.07-12 = 0.44406

и

a = 700 0.55594 = 1259 руб 13 коп

План погашения

 

Срок	Долг в начале года	%	Погашение	Ежегодная уплата
1	10000	700	559.02	1259.02
2	9440.98	660.87	598.15
3	8842.83	619	640.02
4	8202.81	574.20	684.82
5	7517.99	526.26	732.76
6	6785.23	474.97	784.05
7	6001.18	420.08	838.94
8	5162.24	361.36	897.66
9	4264.58	298.52	960.50
10	3304.08	231.29	1027.73
11	2276.35	159.34	1099.68
12	1176.67	82.37	1176.65

В коммерческой арифметике есть еще много интересных и нужных на практике человеку вопросов. Например вопрос о рентах с переменными взносами, которые предполагают знания арифметических прогрессий, начальные сведения о бесконечных пределах, техника вычислений по процентным бумагам и акциям, расчеты по векселям, вопросы страхования и другие задачи.

Однако это вопрос отдельного рассмотрения.